Определитель, детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана матрица порядка n, т. е. квадратная таблица, составленная из п² элементов (чисел, функций и т. п.):

 (1)

  (каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами: первый указывает номер строки, второй — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент). Определителем матрицы (1) называется многочлен, каждый член которого является произведением n элементов матрицы (1), причём из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида

å ± a_1aa_2b...a_ng. (2)

  В этой формуле a, b, ..., g есть произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., n. Перед членом берётся знак +, если перестановка a, b, ..., g чётная, и знак – , если эта перестановка нечётная. [Перестановку называют чётной, если в ней содержится чётное число нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит впереди меньшего, и нечётной – в противоположном случае; так, например, перестановка 51243 – нечётная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.] Суммирование производится по всем перестановкам a, b, ..., g чисел 1, 2, ..., n. Число различных перестановок n символов равно n! = 1·2·3·...·n; поэтому О. содержит n! членов, из которых ¹/₂n! берётся со знаком + и ¹/₂n! со знаком –. Число n называется порядком О.

  О., составленный из элементов матрицы (1), записывают в виде:

 (3)

(или, сокращённо, в виде |a_ik|). Для О. 2-го и 3-го порядков имеем формулы:

= a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁,

   = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ – a₁₁a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁a₃₃ – a₁₃a₂₂a₃₁.

О. 2-го и 3-го порядков допускают простое геометрическое истолкование:  равен площади параллелограмма, построенного на векторах a₁ = (x₁, y₁) и a₂ = (х₂.у₂), а  равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах a₁ = (x₁, y₁, z₁), a₂ = (x₂, у₂, z₂) и а₃ = (х₃, y₃, z₃) (системы координат предполагаются прямоугольными).

  Теория О. возникла в связи с задачей решения систем алгебраических уравнений 1-й степени (линейные уравнения). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде:

 (4)

  Эта система имеет одно определённое решение, если О. |a_ik|, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю; тогда неизвестное x_m (m = 1, 2, ..., n) равно дроби, у которой в знаменателе стоит О.|a_ik|, а в числителе — О., получаемый из |a_ik| заменой элементов m-го столбца (т. е. коэффициентов при х_т) числами b₁, b₂, ..., b_n. Так, в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными

решение даётся формулами

;     .

  Если b₁ = b₂ = ..., = b_n = 0, то систему (4) называется однородной системой линейных уравнений. Однородная система имеет отличные от нуля решения, только если |a_ik| = 0. Связь теории О. с теорией линейных уравнений позволила применить теорию О. к решению большого числа задач аналитической геометрии. Многие формулы аналитической геометрии удобно записывать при помощи О.; например, уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), (х₃, y₃, z₃), может быть записано в виде:

 = 0.

  О. обладают рядом важных свойств, которые, в частности, облегчают их вычисление. Простейшие из этих свойств следующие:

  1) O. не изменяется, если в нём строки и столбцы поменять местами:

 = ;

  2) О. меняет знак, если в нём поменять местами две строки (или два столбца); так, например:

 = –;

  3) О. равен нулю, если в нём элементы двух строк (или двух столбцов) соответственно пропорциональны; так, например:

= 0;

  4) общий множитель всех элементов строки (или столбца) О. можно вынести за знак О.; так, например:

 = k ;

  5) если каждый элемент какого-нибудь столбца (строки) О. есть сумма двух слагаемых, то О. равен сумме двух О., причём в одном из них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а в другом — из вторых слагаемых, остальные же столбцы (строки) — те же, что и в данном О.; так, например:

 =  + ;

  6) О. не изменяется, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель; так, например:

  = ;

  7) О. может быть разложен по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. Разложение О. (3) по элементам i-й строки имеет следующий вид:

 = a_i1A _i1 + a_i2A_i2 + ...+a_inA_in.

  Коэффициент A_ik, стоящий при элементе a_ik в этом разложении, называется алгебраическим дополнением элемента a_ik. Алгебраическое дополнение может быть вычислено по формуле: A_ik = (–1)^{i + k}D_ik, где D_ik — минор (подопределитель, субдетерминант), дополнительный к элементу a_ik, то есть О. порядка n-1, получающийся из данного О. посредством вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент a_ik. Например, разложение О. 3-го порядка по элементам второго столбца имеет следующий вид:

   = –a₁₂ + a₂₂ – a₃₂.

  Посредством разложения по элементам строки или столбца вычисление О. n-го порядка приводится к вычислению n определителей (n - 1)-го порядка. Так, вычисление О. 5-го порядка приводится к вычислению пяти О. 4-го порядка; вычисление каждого из этих О. 4-го порядка можно, в свою очередь, привести к вычислению четырёх О. 3-го порядка (формула для вычисления О. 3-го порядка приведена выше). Однако, за исключением простейших случаев, этот метод вычисления О. практически применим лишь для О. сравнительно небольших порядков. Для вычисления О. большого порядка разработаны различные, практически более удобные методы (для вычисления О. n-го порядка приходится выполнять примерно n³ арифметических операций).

  Отметим ещё правило умножения двух О. n-го порядка: произведение двух О. n-го порядка может быть представлено в виде О. того же n-го порядка, в котором элемент, принадлежащий i-й строке и k-му столбцу, получается, если каждый элемент i-й строки первого множителя умножить на соответствующий элемент k-го столбца второго множителя и все эти произведения сложить; иными словами, произведение О. двух матриц равно О. произведения этих матриц.

  В математическом анализе О. систематически используются после работ немецкого математика К. Якоби (2-я четверть 19 в.), исследовавшего О., элементы которых являются не числами, а функциями одного или нескольких переменных. Из таких О. наибольший интерес представляет определитель Якоби (якобиан)

.

  Определитель Якоби равен коэффициенту искажения объёмов при переходе от неременных х₁, x₂, ..., х_п к переменным

y₁ = f₁(x₁, ..., x_n),

y₂ = f₂(x₁, ..., x_n),

………………….

y_n = f_n(x₁, ..., x_n).

  Тождественное равенство в некоторой области этого О. нулю является необходимым и достаточным условием зависимости функций f₁(x₁, ..., x_n), f₂(x₁, ..., x_n), ..., f_n(x₁, ..., x_n).

  Во 2-й половине 19 в. возникла теория О. бесконечного порядка. Бесконечными О. называются выражения вида:

 (5)

  (односторонний бесконечный О.) и

  (двусторонний бесконечный О.). Бесконечный О. (5) есть предел, к которому стремится О.

при бесконечном возрастании числа n. Если этот предел существует, то О. (5) называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. Исследование двустороннего бесконечного О. иногда можно привести к исследованию некоторого одностороннего бесконечного О.

  Теория О. конечного порядка создана в основном во 2-й половине 18 в. и 1-й половине 19 в. (работами швейцарского математика Г. Крамера, французских математиков А. Вандермонда, П. Лапласа, О. Коши, немецких математиков К. Гаусса и К. Якоби). Термин «О.» («детерминант») принадлежит К. Гауссу, современное обозначение — английскому математику А. Кэли.

  Лит. см. при статьях Линейная алгебра, Матрица.