Инварианты (от лат. invarians, родительный падеж invariantis — неизменяющийся), числа, алгебраические выражения и т. п., связанные с каким-либо математическим объектом и остающиеся неизменными при определенных преобразованиях этого объекта или системы отсчёта, в которой описывается объект. Чтобы охарактеризовать какую-либо геометрическую фигуру и её положение с помощью чисел, обычно приходится вводить некоторую вспомогательную систему отсчёта или систему координат. Полученные в такой системе числа x₁, x₂,..., x_n характеризуют не только изучаемую геометрическую фигуру, но и её отношение к системе отсчёта, и при изменении этой системы фигуре будут отвечать другие числа x¢₁, х¢₂,..., х¢_n. Поэтому если значение какого-либо выражения f (x₁, x₂,..., x_n) характерно для фигуры самой по себе, то оно не должно зависеть от системы отсчёта, т. е. должно выполняться соотношение

f (x₁, x₂,..., x_n) = f (x¢₁, x¢₂,..., x¢_n).                                 (1)

Все выражения, удовлетворяющие соотношению (1), называются инвариантами. Например, положение отрезка M₁M₂ на плоскости определяется в прямоугольной системе координат двумя парами чисел x₁, y₁ и x₂, y₂ — координатами его концов M₁ и M₂. При преобразовании координатной системы (путём смещения её начала и поворота осей) точки M₁ и M₂ получают другие координаты x¢₁, у¢₁ и x¢₂, у¢₂, однако (x₁ — x₂)² + (y₁ — y₂)² = (x¢₁ — x¢₂)² + (y¢₁ — у¢₂)². Поэтому выражение (x₁ — x₂)² + (y₁ — — y₂)² является И. преобразования прямоугольных координат. Геометрический смысл этого И. ясен: это квадрат длины отрезка M₁M₂.

  Кривая 2-го порядка в прямоугольной системе координат задаётся уравнением 2-й степени

ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0,                            (2)

коэффициенты которого можно рассматривать как числа, определяющие кривую. При преобразовании прямоугольных координат эти коэффициенты изменяются, но выражение  сохраняет свое значение и, следовательно, служит И. кривой (2). При рассмотрении кривых и поверхностей высших порядков возникает аналогичная более общая задача.

  Понятие И. употреблялось ещё немецким математиком О. Гессе (1844), но систематическое развитие теория И. получила у английского математика Дж. Сильвестра (1851—52), предложившего и термин «И.». В течение 2-й половины 19 в. теория И. была одной из наиболее разрабатываемых математических теорий. В процессе развития этой классической теории И. главные усилия исследователей стали постепенно сосредоточиваться вокруг решения нескольких «основных» проблем, наиболее известная из которых формулировалась следующим образом. Рассматриваются И. системы форм, являющиеся целыми рациональными функциями от коэффициентов этих форм. Требуется доказать, что для И. каждой конечной системы форм существует конечный базис, т. е. конечная система целых рациональных И., через которые каждый другой целый рациональный И. выражается в виде целой рациональной функции. Это доказательство для проективных И. было дано в конце 19 в. немецким математиком Д. Гильбертом.

  Весьма плодотворный подход к понятию И. получается, если системы чисел x₁, x₂,..., x_n и x¢₁, х¢₂,..., х¢_n рассматривать не как координаты одной и той же точки относительно различных координатных систем, а как координаты различных точек в одной и той же системе координат, полученных одна из другой движением. Движения пространства образуют группу. И. относительно изменений систем координат являются также И. относительно группы движений. Отсюда путём непосредственного обобщения получается понятие И. любой группы преобразований. Теория таких И. оказывается весьма тесно связанной с теорией групп и в особенности с теорией представлений групп.

  Понятие И. группы преобразований лежит в основе известной систематизации геометрических дисциплин по группам преобразований, И. которых изучаются в этих дисциплинах. Например, И. группы ортогональных преобразований изучаются в обычной евклидовой геометрии, И. аффинных преобразований — в аффинной, И. проективных — в проективной. Весьма общую группу преобразований составляют все взаимно однозначные и непрерывные преобразования. Изучение И. этих так называемых топологических преобразований составляет предмет топологии. В дифференциальной геометрии основное значение имеют дифференциальные И., развитие теории которых привело к созданию тензорного исчисления.

  В 20 в. глубокое влияние на развитие теории И., в частности на развитие тензорного исчисления, оказала теория относительности, в которой инвариантность физических законов относительно группы движений становится одним из руководящих принципов. См. также Инвариантность.

  Лит.: Погорелов А. В.. Аналитическая геометрия, 3 изд., М., 1968; Широков П. А., Тензорный анализ, ч. 1, М.—Л., 1934; Гуревич Г. Б., Основы теории алгебраических инвариантов, М.—Л., 1948; Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947.