Шаровые функции
— представим себе точку M
на поверхности шара, центр которого есть точка C.
Предположим, что дана точка O
вне шара (I) или внутри его (II).
Введем обозначения: МС=R,
СО=ρ,
МО= r ,
угол МСО=ω.
Из треугольника M СО
следует, что
Это выражение можно представить:
(в случае I)
или
(в случае II).
Полагая cosω = x, R /ρ
или ρ/R равным α, получим, что r
выражается в обоих случаях через
,
где α < 1.
Во многих вопросах математической физики приходится 1/ r
разлагать в ряд. Этот вопрос приводится к разложению функции
по степеням α. Выполнив это разложение, получим:
где P0 = 1, P1
= x, P2 = 3/2x2-1/2,
P3 = 5/2x3-3/2x,...
Pn =
Полученные здесь целые функции от x
называются Лежандровыми
функциями или, по Гауссу, шаровыми функциями.
При помощи строки Лагранжа доказывается, что Р n(x)
есть n -ая
производная целой
функции:
(x2-1)n/1∙2∙3∙...n∙2n.
Уравнение Р n(x)
= 0 имеет все корни
вещественные, лежащие между
- 1 и
+1.
Функция Р n(x)
удовлетворяет дифференциальному уравнению:
(1-x2)y"-2xy' + n(n + 1)y
= 0.
Между тремя последовательными функциями Pn,
Pn-1
и Pn-2
имеет место соотношение:
nPn — (2n-1)xPn-1 +
(n-1)Pn-2 = 0.
Из сочинений, посвященных рассматриваемому вопросу, отметим следующие: Р.
G. Lejeune-Dirichlet, "Vorlesungen über die im
umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung wirkende Kräfte"
(изд. доктора F. Grube'a,
Лейпциг, 1876); Dr. E. Heine, "Handbuch der
Kugelfunctionen. Theorie und Anwendungen"
(2 т., Б., 1878, 1881).
Д. С.
|