Теория вероятностей
— есть часть математики, изучающая зависимости между вероятностями (см.
Вероятность и Статистика) различных событий. Перечислим важнейшие теоремы,
относящиеся к этой науке. Вероятность появления одного из нескольких
несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий. Приведем пример.
Вероятность вынуть туза из полной колоды карт равна 4/52, или 1/13, так
как всего карт 52 и из них 4 туза;
вероятность вынуть короля тоже равна 1/13. Вероятность вынуть туза или короля
будет 1/13+1/13 = 2/13. Рассматриваемые события несовместны, так как появление
одного из событий исключает появление другого. Вероятность вынуть туза или
трефовую карту не равна 1/13 + 1/4, так как вынутый туз мог бы оказаться
трефовой масти. В этом случае события нельзя назвать несовместными и потому
нельзя прилагать высказанной теоремы, вероятность появления событий Е и
F равна вероятности
Е, умноженной
на вероятность F, вычисленную в том предположении, что Е случилось.
Например, вероятность вынуть два туза из полной колоды карт равна (4/52)∙(3/51),
так как после появления туза в колоде останется 51 карта и в том числе 3 туза.
Если же вынимать карты последовательно и вынутую карту возвратить в колоду, то
вероятность вынуть 2 туза равна (4/52) 2.
Предположим, что при повторении испытаний вероятность появиться событию Е
постоянно остается равною р. В таком случае вероятность того, что при
п испытаниях событие Е появится т раз, будет
1.2.3...n
1.2.3...(n — m)k(1 — p)n—m
, где k = pm.
Если п и т очень велики, то Лаплас доказал, что интеграл
есть
приближенное выражение вероятности того, что т заключается между
и
.
Отсюда легко выводится следующая
теорема Якова Бернулли. С вероятностью, сколь угодно близкою к достоверности,
можно утверждать, что при достаточно большом п численное значениe
разности (m/n —
р)
сколь угодно мало. Предположим, что
вероятность события Е меняется при каждом испытании и что при n
испытаниях эта вероятность
принимала значения p1, p2,... рп.
Если т обозначает число появлений события Е при п
испытаниях, то при достаточно большом п имеет место теорема Пуассона. С
вероятностью, сколь угодно близкою к достоверности, можно утверждать, что
численное значение разности m/n = (p1+p2+...+pn)/n
сколь угодно мало.
Если величина х может принимать значения x1,
x2,...x п ,
вероятности которых суть p1, p2,... рп,
то число x1p1+x2p2+...+xnpn
называется
математическим ожиданием величины х.
Если а, b,
с,...k
математические ожидания независимых величин x, y, z,... и,
а а 1,
b1, c1,...k1
математические ожидания квадратов этих величин, то с вероятностью большей чем 1 —1/t2
можно утверждать, что
x+y+ z+...+u
принимает значение, лежащее между
В этом состоит теорема Чебышева.
В случае большого числа величин х,
у, z,...u
Лаплас доказал, что интеграл
есть
приближенное выражение вероятности того, что x+y+z+...+u
принимает значение, лежащее между
Предположим, что а, b,
с,...k больше
некоторого положительного числа А,
а каждое из чисел a1,
b1, с 1...k1
не превышает числа B.
Если n,
число величин х, y, z,... u,
может быть сколько угодно велико, то с вероятностью, сколь угодно близкою к
достоверности, можно утверждать, что сумма х+у +z+...+u
превзойдет любое данное число. На основании этой теоремы определяется выгодность
или убыточность предприятия. Если математическое ожидание прибыли от
какого-нибудь предприятия число положительное, то такое предприятие выгодное.
Хотя и возможны убытки, но с вероятностью, сколь угодно близкой к достоверности,
прибыль будет сколь угодно велика, если продолжать участие в предприятии.
Литература. В. Я. Буняковский, "Основания математической теории
вероятностей" (СПб., 1846); В. П. Ермаков, "Teopия вероятностей" (Киев, 1879);
П. А Некрасов, "Teopия вероятностей" (М., 1896); Н. А. Забудский, "Теория
вероятностей и применение ее к стрельбе и пристрелке" (СПб., 1898); М. А.
Тихомандрицкий, "Курс теории вероятностей" (Харьков, 1898); А. А. Марков,
"Исчисление вероятностей" (СПб. 1900); Laplace, "Th éorie analytique des
probabilité s" (П., 1820); Poisson,
"Recherches sur la probabilit é des jugements en matière criminelle et en
matiè re civile" (П., 1837);
Poisson, "Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung und deren wichtigsten
Anwendungen" (нем. перев. Schnuse, Брауншвейг, 1841); Lacroix, "Trait é
élémentaire du calcul des probabilité s"
(4-е изд. Пар., 1864); Todhunter, "A history of the mathematical theory of
probability..." (Кембридж и Лонд., 1865); Lauren t, "Traité du calcul des
probabilité s" (П., 1873); A. Meyer,
"Calcul des probabilit é s"
(Льеж, 1874); Liagre, "Calcul des probabilit é s"
(Брюссель, 1879); Hagen, "Grundz ü ge
der Wahrscheinlichkeitsrechnung" (Б., 1882); J. Bertrand, "Calcul des probabilit és"
(П., 1889); Bobek, "Lehrbuch der
Wahrscheinlichkeitsrechnung" (Штутгарт, 1891); P. Poincare, "Calcul des
probabilit é s" (П., 1896);
Jakob Bernoulli, "Ars conjectandi" (1713; нем. перев., Haussner, Лпц., 1899);
Ostwald's "Klassiker der exacten Wissenschaften" №№ 107 и 108.
Д. С.
|