Поверхность

(Surface, Oberflä che). — Всякую непрерывную кривую линию можно представить, как след движущейся точки. Подобно этому и всякую П. можно образовать или описать движением в пространстве некоторой кривой линии неизменяемого или изменяемого вида и размеров, и притом способ образования П. может быть разнообразен. Например, всякая П. вращения может быть получена вращением надлежащей плоской кривой вокруг оси, находящейся в одной с нею плоскости, и та же П. может быть описана окружностью круга, радиус которого изменяется по надлежащему закону, а плоскость которого движется поступательно вместе с центром, движущимся по оси вращения, перпендикулярной к плоскости круга. Из этого видно, что вид П. может быть еще более разнообразен, чем вид кривых. Наглядное представление о виде П. труднодостижимо помощью рисунков и чертежей, столь удобных для представления плоских кривых линий. Лучшим средством для наглядного представления П. служат модели, металлические, деревянные. гипсовые и др. Предмет учения о П. разного рода, теперь известных и изученных, очень обширен, и в настоящей статье придется ограничиться указанием на некоторые виды II., более известные и чаще встречающиеся. Многие П. могут быть аналитически представлены уравнениями вида: f(x, у, z) = 0, выражающими зависимость между координатами (см.) точек, принадлежащих П. Иногда П. выражается двумя уравнениями, заключающими, кроме координат, еще четвертую переменную величину, имеющую значение параметра кривой линии, которая своим движением образует П.; в таком случае уравнение П. должно получиться, по исключении этого переменного параметра, из двух уравнений. Наконец, случается, что координаты точек П. выражены функциями двух переменных параметров, тогда уравнение П. должно быть результатом исключения этих параметров из трех уравнений. Если f(x, y, z) есть функция алгебраическая, то П. называется алгебраической, а если в этой функции заключаются функции трансцендентные, то П. называется трансцендентной. Соответственно степени уравнения, алгебраические П. разделяются на порядки. П. первого порядка суть плоскости. П. второго порядка: эллипсоиды, шары, гиперболоиды об одной и двух полах, параболоиды эллиптические и гиперболические, цилиндрические и конические П. второго порядка рассматриваются в любом курсе аналитической геометрии в пространстве. П. третьего порядка рассматривались и исследовались с 30-х годов настоящего столетия многими авторами; таково, например, исследование проф. Клейна ("Mathem. Annal.", т. VI), в котором П. эти разделены на несколько классов, начиная с таких, на которых лежат 27 прямых линий. П. четвертого порядка также были предметом изучения некоторых математиков, и построены модели многих П. третьего порядка и некоторых четвертого порядка. Наконец, встречаются исследования касательно П. высшего порядка, такова, напр., алгебраическая П. девятого порядка, открытая Эннепером и принадлежащая к числу П. minima, т. е. таких, средняя кривизна которых равна нулю. Гиперболоиды об одной поле и параболоиды гиперболические принадлежат к классу линейчатых поверхностей (см.), к которым принадлежат еще всевозможные П. цилиндрические (см.), конические (см.), линейчатые коноиды (см.), линейчатые геликоиды (см.). Гиперболоид об одной поле и параболоид гиперболический имеют по две системы прямолинейных производящих. Линейчатые П. могут быть разделены на два разряда: развертываемые на плоскость и косые. К первым принадлежат: все цилиндрические, все конические П. и геликоид, развертываемый на плоскость (см.). К косым принадлежат вышесказанные гиперболоид и параболоид и обыкновенная винтовая П., производящие которой перпендикулярны к оси (см.). Эта П. есть вместе с тем и коноид и одна из П. minirna. П. minima названы так потому, что занимают собою наименьшую площадь при заданном контуре; в каждой точке такой П. сумма главных кривизн, или средняя кривизна П., равна нулю, а поэтому они могут быть воспроизведены пластинчатой (см. Пластинчатое состояние жидкости) поверхностью мыльной воды по способу Плато. Существует весьма большая литература по вопросу о П. Minima. В книге Дарбу "Le çons sur théorie générale des surfaces" (4 тт.) можно найти весьма полное изложение по теории П. Minima. В числе П. Mmima есть катеноид, т. е. П., образуемая вращением цепной линии (см. соотв. ст.; см. табл. Кривые, черт. 3) вокруг ее оси абсцисс. Этот катеноид может быть наложен без разрыва и складок на вышесказанную винтовую линейчатую П. таким образом, что обратившаяся в прямую линию окружность шейки катеноида ляжет вдоль оси винта и все кривые меридиональных сечений катеноида обратятся в прямые, которые лягут по производящим. Катеноид есть единственная минимальная П. вращения. П. с постоянною средней кривизной принадлежат к числу тех, которыми может быть ограничена П. жидкости, не подверженной действию внешних сил. К числу таких П., кроме катеноида, принадлежат две П. вращения: ундулоид и нодоид. Из числа П. с постоянной полной отрицательной кривизной мы укажем на одну П. вращения, меридиональное сечение которой есть трактриса, или трактория (см.; см. также таблицу Кривые, черт. 12, левая фигура); эта П. называется псевдосферою (см.), потому что, подобно как на сфере, можно переносить фигуру, начерченную на ней, на другую часть П. с сохранением длин дуг, углов и величин площадей. О величинах площадей замкнутых П. (см.).