Двучлен
(мат.) — В добавление сказанного в ст. Бином (см.) заметим по поводу бинома
Ньютона. Уже Вьетту было известно, что от возвышения Д. а + b в какую угодно
целую положительную степень n получается формула вида
(1) (а +b) n = а n
+ P1an—1b1 + P2an-2b2
+... + Р n—1аb n—1
+ bn,
где в правой части многочлен, состоящий из n+1 членов. В каждом из них сумма
показателей над а и над b равна
n. Кэффициенты же Р 1,
Р 2,... Р n
— суть некоторые целые числа. Ньютон первый показал закон составления этих
коэффициентов. Коэфф. Р k оказывается
равным числу сочетаний из n предметов по k (см. Сочетания), или,
выражая это формулой
(2) Pk = [n(n—1)...(n-k + 1)]/1.2.3...k
Уже Ньютон, а за ним и все остальные математики, между прочим Эйлер,
рассматривали формулу, приведенную выше, также и для n дробных и
отрицательных. В этих случаях (а + b)n представляется уже не в виде
многочлена с n+1 членами, а в виде бесконечного ряда, начинающегося с членов
а n + Р 1an—1b
+ Р 2а n-2b2
+...,
причем Р k вычисляется по формуле (2)
и может не быть целым числом. Бесконечные ряды употребляются лишь в том случае,
когда эти ряды суть так назыв. сходящиеся (см. Ряд). Полагая b/a = х, мы
приходим к рассмотрению выражения (1+x) m
или, другими словами, к нахождению суммы ряда
1 + (n/1)x + {[n(n—1)]/1·2}x2 + {[n(n—1)(n-2)]/1·2·3}x3
+...
для всех значений х и n действительных или мнимых, для которых ряд
сходящийся. Полное решение послднего вопроса представляет знаменитая работа
норвежского математика Абеля: "Recherches sur la série 1 + (m/1)х +... (см.
журнал Crell'я, т. I, 1826). Ограничиваясь вещественными значениями х и m,
замечаем, что формула
(1+x)n = 1 + nx + {[n(n—1)]/1·2}x2 +...
1) при n целом и положительном справедлива, каково бы ни было значение х;
2) при n не равном целому и положительному числу имеет место при —1 < х < +1;
3) при х = +1 имеет место, когда m > —1;
4) при х = — 1 имеет место, когда m > 0.
Бином Ньютона дает возможность вычислять корни по приближению. Например:
Вычисляя только написанные четыре члена, мы получим для
число
1,70997858, в котором верны пять знаков после запятой.
Д. Граве.
|