Биполярные координаты

— Так наз. систему координат, в которой каждая точка на плоскости определяется расстоянием ее от двух неподвижных точек — полюсов. Система эта имеет существенные недостатки. Не всяким двум значениям u, v координат, соответствует какая-нибудь точка, ибо должно быть u + v больше 2c, если 2с есть расстояние полюсов. Кроме того, есть всегда две действительные точки, имеющие одинаковые Б. координаты, именно две точки пересечения кругов, описанных радиусами u и v из полюсов. В некоторых частных случаях, однако, уравнения геометрических линий имеют в системе Б. координат весьма простой вид. Так, напр., уравнение эллипса, фокусы которого находятся в полюсах, есть, очевидно, u + v = 2a. Уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в полюсах, есть u — v = ±2а. Уравнение круга, построенного на линии полюсов, как на диаметре, есть u ² + v² = 4r² и т. п. Вместо расстояний u, v, в другой системе Б. координат положение точки определяют углы α, β, составляемые радиусами-векторами точки из полюсов с линией полюсов. В этой системе, напр., уравнение эллипса будет tan½α tan½ β = (a — c)/(a + c); уравнение гиперболы (tan½α)/(tan½ β) = (ρ — а)/(с + а); уравнение круга α + β = r/2 при том расположении этих линий относительно полюсов, которое указано выше.