Ультраэллиптические интегралы и функции
— Квадратуры вида:
, где
Χ есть целый полином
степени выше четвертой относительно x, a F — какая-либо
рациональная функция от x и √x называются У. или
гиперэллиптическими интегралами.
Теорией У. интегралов занимались Абель, Якоби, Гёпель, Розенгайн, Эрмит,
Вейерштрассе, Прим, Нейман, Клебш и Гордан, Г. Вебер, Томэ, Брио, Кенигсбергер и
др.; у нас, в России, К. А. Поссе, П. М. Покровский, М. А. Тихомандрицкий и др.
Если Χ есть
полином 5-й-или 6-й степени, то интегралы называются У. первого класса. С
помощью подстановки:
x = (a + by)/(c + fy)
всегда возможно интеграл с полиномом
Χ шестой степени
относительно x привести к интегралу с полиномом Y пятой степени
относительно у.
Те У. интегралы первого класса, которые могут быть приведены к виду:
где R = x(1 — x)(1 —
χ 2x)(1
— λ 2x)(1
— μ 2x),
а величины a, α,
β,
χ ,
λ,
μ — постоянные, называются
ультраэллиптическими интегралами первого класса и первого рода. Они
конечны для всех значений переменной х.
Если интеграл 1-го класса приводится к виду
то он называется ультраэллиптическим интегралом второго рода. Он
обращается в бесконечность алгебраически при х = ∞. Интеграл,
приводящийся к виду:
называется ультраэллиптическим интегралом третьего рода; он обращается
в бесконечность логарифмически при x=a.
Начало теории ультраэллиптических интегралов было положено в 30-х годах
прошлого XIX стол. знаменитою теоремою Абеля о сложении интегралов
алгебраических функций. Из этой теоремы между прочим следует, что если имеем
систему уравнений
то х1 и x2, как функции от u1
и и2 суть корни квадратного уравнения:
Nx2 + mx + L = 0,
в котором N, М и L суть однозначные функции от и1
и и2.
Якоби показал, что L, M и N суть однозначные функции с
четырьмя системами периодов, т. е. что они остаются без изменения, если
одновременно заменим и1 и и2 через
и1 + n1A1 + n2B1
+ n3C1 + n4D1
и2 + n1A2 + n2B2
+ n3C2 + n4D2
где п1, п2, п3, п4
суть какие-либо целые числа, a A1, В1,С1,
D1 и А2, В2, С2,
D2 периоды двух интегралов в равенствах (2).
Требовалось определить те функции от и1 и и2,
которые выражали бы х1 и x2 и
соответствующие им значения √R(x1) и √R(x2),
удовлетворяющие уравнениям (2).
Эта задача была решена почти одновременно Гёпелем и Розенгайном, которые
показали, что для решения ее надо ввести особые функции от двух переменных,
названный функциями Θ (тета)
от двух аргументов; начало теории таких функций положил Риман.
Функция Θ от двух
аргументов и1 и и2 выражается двойным
бесконечным рядом.
где:
z = 2(n1 + g1/2)(u1
+[h1/2] π i)
+ 2(n2 + g2/2)(u2 +
[h2/2] π i)
Ф = (n1 + g1/2)2 τ 11
+ 2(n1 + g1/2)(n2 +
g2/2) τ 12
+ (n2 + g2/2)2 τ 22
и где, в сумме, целые числа п1 имеют всевозможные величины
от —∞ до +∞ и целые числа п2 имеют всевозможные величины от —∞
до +∞. Величины g1, g2, h1,
h3, τ 11,
τ 12,
τ 22 суть
постоянные.
Совокупность постоянных g1, g2, h1,
h2 называется характеристикою функций
Θ. При исследовании свойств
этих функций оказывается, что существует только 16 различных функций
Θ, а именно соответствующих
характеристикам:
и т. д., при которых g1, g2, h1,
h2 суть либо нули, либо единицы.
Функция Θ с
характеристикой
обозначается просто через Θ (u1u2).
По изучении свойств этих функций
Θ оказалось, что х1 и x2, а
также √R(x1) и √R(x2)
выражаются рационально в функциях Θ
от двух аргументов и1 и u2.
Для знакомства с теориею ультраэллиптических интегралов и функций
Θ от двух аргументов нужно
обратиться к статьям и сочинениям вышеупомянутых ученых.
Д. Б.
|