Пуассона уравнение, уравнение с частными производными вида Du = f, где D —оператор Лапласа:

  При n = 3 этому уравнению удовлетворяет потенциал u (х, у, z) объёмных масс, распределённых с плотностью f (x, у, z)/4p (в областях, где f = 0 потенциал u удовлетворяет уравнению Лапласа), а также потенциал объёмно распределённых электрических зарядов. При этом плотность распределения f должна удовлетворять известным требованиям гладкости (например, условию непрерывности частных производных). Если функция f отлична от нуля лишь в конечной области G, ограничена и имеет непрерывные частные производные первого п орядка, то при n = 2 частное решение П. у. имеет вид:

а при n = 3:

где r (А, Р) — расстояние между переменной точкой интегрирования А и некоторой точкой Р. В более подробной записи

V (х, у, z) =

Решение краевых задач для П. у. сводится подстановкой к решению краевых задач для уравнения Лапласа Dw = 0.

  П. у. впервые (1812) было изучено С. Д. Пуассоном.