Потенциалы электромагнитного поля, величины, характеризующие электромагнитное поле. В электростатике векторное электрическое поле можно характеризовать одной скалярной функцией — потенциалом электростатическим. В общем случае для описания произвольного электромагнитного поля вместо двух векторов — магнитной индукции В и напряжённости электрического поля Е можно ввести две др. величины: векторный потенциал А (х, у, z, t) и скалярный потенциал j(x, у, z, t) (где х, у, z — координаты, t — время), при этом В и Е однозначно выражаются через А и j

В = rot А,

E = -grad< span style='font-family:Symbol'>j,     (1)

где с — скорость света в вакууме.

  Уравнения для потенциалов поля имеют более простую форму, чем исходные Максвелла уравнения, и поэтому введение П. э. п. упрощает задачу нахождения переменных электромагнитных полей. Существенное упрощение уравнений для П. э. п. возможно благодаря тому, что потенциалы определяются неоднозначно. Если вместо А и j выбрать новые потенциалы

А' = А + gradc,

,     (2)

где c — произвольная функция координат и времени, то векторы В и Е, определяемые уравнениями (1), не изменятся. Инвариантность электромагнитного поля по отношению к преобразованиям потенциалов (2) носит название калибровочной или градиентной инвариантности. Калибровочная инвариантность позволяет наложить на П. э. п. дополнительное условие. Обычно таким дополнительным условием является условие Лоренца:

divA + ,     (3)

где e и m— диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. При использовании условия (3) уравнения для П. э. п. в однородной среде (e = const, m = const), получаемые из уравнений Максвелла, приобретают одинаковую форму:

,     (4)

;

здесь D—Лапласа оператор, r и j — плотности заряда и тока, a u =  — скорость распространения электромагнитного поля в среде. Если r = 0 и j = 0, то П. э. п. удовлетворяют волновым уравнениям.

  Уравнения (4) позволяют определить потенциалы А и j по известному распределению зарядов и токов, а следовательно, с помощью формул (1) — характеристики электромагнитного поля В и Е. Частные решения уравнений (4), удовлетворяющие причинности принципу, называют запаздывающими потенциалами. Запаздывающие потенциалы в точке с координатами х, у, z в момент времени t определяются плотностями заряда и тока в точке с координатами х’, у’, z' в предшествующий моме нт времени t = t — R/u, где

— расстояние от источника поля до точки наблюдения.

  Если заряды и токи распределены в конечной области пространства G, то запаздывающие потенциалы определяются суммированием (интегрированием) элементарных потенциалов от зарядов и токов, сосредоточенных в бесконечно малых объёмах dx'dy'dz’, с учётом времени запаздывания:

j (х, у, z, t) = ,

A (х, у, z, t) = ,

  Через П. э. п. выражается функция Гамильтона Н заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле:

,     (6)

где p — импульс частицы, e и m — ее заряд и масса. Соответственно через П. э. п. выражается оператор Гамильтона (гамильтониан) в квантовой механике.