|
|
источник статьи: Большая Советская Энциклопедия |
Положительная логика, логика, в которой приемлемыми считаются только рассуждения, не связанные с опровержениями, т. е. с обоснованиями ложности высказываний. Поскольку выражение «А — ложно» есть лишь иная форма выражения «не-А», в П. л. отказываются от любых способов введения отрицания, к числу которых относятся приёмы косвенных доказательств, в том числе доказательств от противного, а также явные определения отрицания типа ù А = dfA (f, где ù — знак отрицания, É — импликация, а f — пропозициональная переменная или какое-либо «допустимое» абсурдное утверждение. П. л. можно назвать, таким образом, логикой без отрицания. Логические законы, соответствующие правильным рассуждениям в П. л. (или же правила, кодифицирующие способы таких рассуждений), описываются и каталогизируются в соответствующих логических исчислениях, из которых важнейшими являются положительное импликативное исчисление высказываний с единственной логической операцией — импликацией, и полное положительное исчисление высказываний с конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и эквиваленцией. Положительное импликативное исчисление высказываний (подробно об исчислении высказываний см. в ст. Логика) задаётся с помощью двух аксиомных схем: 1. А É (В É A), 2. (A É (В É С)) É ((А É В) É (А É C) и правила modus ponens; полное положительное исчисление высказываний — добавлением к схемам (1) и (2) следующих: 3. (А & В) É А, 4. (A & В) É В, 5. А É (В É (A & В)), 6. (A É С) É ((B É С) É ((А Ú В) É C)), 7. А É (A ÚB), 8. В É (A Ú B) и определения эквиваленции как сокращения для выражения (А É В) & (В É А). Более сильные логические исчисле ния получаются из исчислений П. л. последовательным неконсервативным расширением (усилением) их систем аксиом или правил вывода. Так, присоединение к (1) и (2) аксиомной схемы 9. (А É В) É ((А Éù В) É ù А) или соответствующего ей правила reductio ad absurdum даёт минимальную логику Колмогорова (1925), а аналогичное добавление к полному положительному исчислению высказываний — минимальную логику Иохансона (1936). Присоединяя: к последней схему 10. ù А É span> (А É В) (противоречие влечёт произвольное утверждение) и схему 11. ù А (А (исключенного третьего принцип), получают соответственно интуиционистскую и классическую логику высказываний. Поскольку все законы П. л. имеют силу (доказуемы) в интуиционистской и классической логике (обратное, естественно, неверно), положительные исчисления обычно рассматривают как их подсистемы — вообще как «частичные системы». Существенно, однако, что положительные исчисления, взятые «сами по себе», и «те же» исчисления «внутри» более сильной логики — это исчисления с различной семантикой логических связок (операций), которая для первых детерминируется только их собственными аксиомами или правилами употребления связок, а для вторых наследуется от более сильной логики. &nb sp; Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, § 26; Расёва Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, пер. с англ., М., 1972, гл. 1:1, §§ 2—6. М. М. Новосёлов.
|