Большой интерес приобретает обобщённая обратная (или псевдообратная) М. А⁺, определяемая как для любой прямоугольной М., так и для особенной квадратной. Эта М. определяется из четырёх равенств:

  AA⁺A = A, А⁺АА⁺ = А, AA⁺ = (AA⁺)*, А⁺А = (А⁺А)*.

  Квадратные матрицы. Степенью Aⁿ М. А называется произведение n сомножителей, равных А. Выражение вида a₀Аⁿ + a₁A^n-1 + ... + a_nE, где a₀, a₁, ..., a_n — числа, называется значением полинома a₀tⁿ + a_it^n-1 + ... + a_nE от квадратной М. А. Правила действий над полиномами от данной М. А ничем не отличаются от правил действий над алгебраическими многочленами. Можно рассматривать и аналитические функции от М. В частности, если

есть сходящийся на всей комплексной плоскости ряд (например, ), то и б есконечный ряд  оказывается сходящимся при любой М. А, его сумму естественно считать равной f(A). Если же ряд f(t) сходится в некотором конечном круге сходимости, то f(A) задаётся этим рядом для достаточно «малых» М.

  Аналитические функции от М. играют большую роль в теории дифференциальных уравнений. Так, система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, записанных в матричных обозначениях в виде

(здесь Х — столбец из неизвестных функций), имеет решение х = e^AtC, где С — столбец из произвольных постоянных.

  Ненулевой столбец Х такой, что AX = lХ, называется собственным вектором М. А. В этом равенстве коэффициент l м ожет быть лишь одним из корней многочлена

который называется характеристическим многочленом М. А. Эти корни называются собственными значениями, или характеристическими числами, М. А. Коэффициенты характеристического многочлена выражаются через суммы некоторых миноров М. А. В частности, p₁ = a₁₁ + ... + a_1n = SpA (след A), . Справедливо соотношение Кэли — Гамильтона: если j(f) есть характеристический многочлен М. А, то j(A) = 0, так что М. А является «корнем» своего характеристического многочлена.

  М. А называется подобной М. В, если существует такая неособенная М. С, что В = С^-1AС. Легко п роверяется, что подобные М. имеют одинаковые характеристические многочлены.

  Исчисление матриц. М. — полезный аппарат для исследования многих задач теоретической и прикладной математики. Одной из важнейших задач является задача нахождения решения систем линейных алгебраических уравнений. В матричных обозначениях такие системы записываются в виде

  AX = F,

где A есть М. коэффициентов, Х — искомое решение, записанное в виде столбца из n элементов, F — столбец свободных членов из m элементов. Если А — квадратная неособенная М., то система имеет единственное решение Х = A ^-1F. Если A прямоугольная (m ´ n-матрица ранга k, то решение может не существовать или быть не единственным. В случае несуществования решения имеет смысл обобщённое решение, дающее минимум сумме квадратов невязок (см. Наименьших квадратов метод). При отсутствии единственности точного или обобщённого решения часто выбирают нормальное решение, то есть решение с наименьшей суммой квадратов компонент. Нормальное обобщённое решение находится по формуле Х = A + F. Наиболее важен случай переопределённой системы: k = n < m. В этом случае обобщённое решение единственно. При k = m < n (недоопределённая система) точных решений бесконечно много и формула даёт нормальное решение.

  Не менее важной для многочисленных приложений (в теории дифференциальных уравнений, в теории малых колебаний, в квантовой механике и т. д.) является задача решения полной или частичной проблемы собственных значений. Здесь ищутся все или часть собственных значений М. и принадлежащие им собственные или корневые (некоторые обобщения собственных) векторы. К этой задаче близко примыкает и обобщённая проблема соб ственных значений, в которой ищутся числа и векторы такие, что AX = lBX (А и В — заданные М.), и многие родственные проблемы.

  С полной проблемой непосредственно связана также задача о приведении преобразованиями подобия квадратной М. к каноническjй форме. Такой формой будет diag (l₁, ..., l_n), если М. имеет n различных собственных значений l₁, ..., l_n, или форма Жордана [см. Нормальная (жорданова) форма матрицы] в общем случае.

  Ввиду большой практической важности поставленных задач для их численного решения имеется большое число разл ичных методов. Наряду с нахождением численного решения важно оценивать качество найденного решения и исследовать устойчивость решаемой задачи.

  Матрицы специального типа. Существует большое число различных типов М. в зависимости от выполнения различных соотношений между элементами.

Название матрицы	Определяющее условие
Симметричная
Кососимметричная
Ортогональная	или
Стохастическая
Эрмитова
Унита рная	или

Некоторые типы естественно возникают в приложениях. Приведённая таблица даёт ряд важных типов квадратных М.

  Следует отметить также ленточные М. — такие М., ненулевые элементы которых могут располагаться на главной диагонали и на диагоналях, соседних с главной, например, двухдиагональные и трёхдиагональные М. Не менее важны специальные типы М., употребляемых в качестве вспомогательных. Это элементарные М. — М., отличающиеся от единичной одним элементом; М. вращения и отражения.

  Имеются унитарные аналоги М. вращения и отражения; правые (левые) треугольные М. — М., у которых равны нулю элементы под (над) главной диагональю; правые (левые) почти треугольные М. (М. типа Хессенберга) — М., у которых равны нулю элементы под (над) диагональю, соседней снизу (сверху) с гла вной.

  Преобразование матриц. Численные методы решения систем линейных уравнений основываются обычно на преобразовании систем посредством цепочки левых умножений на подходящие вспомогательные М. с тем, чтобы перейти к легко решаемой системе. В качестве вспомогательных для вещественных М. употребляются элементарные М., М. вращения или М. отражения. Система с неособенной М. приводится либо к системе с треугольной М., либо с ортогональной. В теоретическом аспекте это равносильно представлению М. коэффициентов в виде произведения двух треугольных М. (при выполнении некоторых дополнительных условий) или в виде произведения треугольной на ортогональную (в том или другом порядке).

  Для переопределённой системы умножением слева на цепочку М. вращения или отражения можно прийти к системе с треугольной М. порядка n, решение которой даёт обобщённое решение исходной системы.

  Для решения проблемы собственных значений, раньше чем применять наиболее эффективные итерационные методы, цел есообразно подобно преобразовать М. общего вида к М. типа Хессенберга или к трёх диагональной в случае симметрии. Этого можно добиться за счёт цепочки подобных преобразований элементарными М., М. вращения или М. отражения.

  Историческая справка. Понятие М. было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И. А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в современной математике и её приложениях. Исчисление М. развивается в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основных задач.

  Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 9 изд., т. 3, ч. 1, М., 1967; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967; Уилкинсон Дж. Х., Алгебраическая проблема собственных значений, перевод с английского, М., 1970; Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М. — Л., 1963; Воеводин В. В., Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы, М., 1966; Лаппо-Данилевский И. А., Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1957; Фрезер Р. А., Дункан В., Коллар А., Теория матриц и её приложения к дифференциальным уравнениям и динамике, перевод с английского, М., 1950; Вазов В., Форсайт Дж., Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, перевод с английского, М., 1963.

  В. Н . Фаддеева.