источник статьи:
Большая Советская
Энциклопедия
Большая Советская
Энциклопедия
|
|
|
|
источник статьи: Большая Советская Энциклопедия |
|
Логика предикатов, раздел математической логики, изучающий логические законы, общие для любой области объектов исследования (содержащей хоть один объект) с заданными на этих объектах предикатами (т. е. свойствами и отношениями). В результате формализации Л. п. принимает вид различных исчислений. Простейшими логическими исчислениями являются исчисления высказываний. В более сложных исчислениях предикатов описываются логические законы, связывающие объекты исследования с отношениями между этими объектами. В классическом исчислении предикатов употребляются следующие знаки: 1) т. н. предметные переменные — буквы х, у, z,..., которые содержательно рассматриваются как неопределённые имена объектов исследования теории; 2) предикатные переменные — зна
ковые комплексы вида Pm, Qn, Rl,... (m, n, l — натуральные числа), причём, например, Qn означает произвольное n-местное отношение между объектами; 3) знаки для логических связок: конъюнкции &, дизъюнкции Если Qn есть n-местная предикатная переменная, a x1,..., xn — предметные переменные, то выражение Qn (x1
,..., xn) есть, по определению, атомарная (элементарная) формула. Индекс n у предикатной переменной в атомарной формуле обычно опускается. Содержательно Q (x1,..., xn) означает высказывание, гласящее, что объекты x1,..., xn связаны отношением Q. Формулами считаются атомарные формулы, а также выражения, получаемые из них посредством следующих операций образования новых формул из уже полученных: 1) если j и Вхождение предметной переменной х в формулу j называется связанным, если х входит в часть j вида $xj или "xj или стоит непосредственно после знака квантора. Несвязанные вхождения переменной в формулу называются свободными. Если найдётся хоть одно свободное вхождение х в j, то говорят, что переменная х входит свободно в j или является параметром j. Интуитивно говоря, формула j с параметрами выражает некоторое условие, которое превращается в конкретное высказывание, если (конкретизировав предварительно область объектов) приписать определённые значения входящим в формулу параметрам и предикатным буквам. Связанные же переменные не имеют самостоятельного значения и служат (вместе с соответствующими кванторами) для обозначения общих утверждений или утверждений существования. Если j — формула, а х и у — предметные переменные, то через j(х½у) будет обозначаться результат замещения всех свободных вхождений x в j на y (а если при этом
у оказалось на месте х в части формулы вида "y Пусть j, 1. (jÉ( 2. ((jÉ( 3. ((j& 4. ((j& 5. (jÉ( 6. ((jÉh)É(( 7. (jÉ(j 8. ( 9. (ùjÉ)(jÉ 10
. ((jÉ 11. (j 12. ("xjÉj(x/y)), 13. (j(x/y) É$xj). В исчислении предикатов употребляются след. три правила вывода. 1) Правило вывода заключений: из формул j и (jÉ В отличие от других формулировок исчисления (см., например, Логика, раздел Предмет и метод современной логики), здесь j, Интуиционистское исчисление предикатов отличается от классического лишь тем, что закон исключенного третьего (аксиома 11) исключается из числа аксиом. Различие двух исчислений отражает различие в их истолкованиях. Истолкование логических связок &, В интуиционистском же истолковании утверждение, что некоторая формула истинна, требует проведения некоторого математического построения. Например, "x$yj истинно с интуиционистской точки зрения, только если имеется общий метод, позволяющий находить для каждого х соответствующее у. Истинность "x (j Л. п. является обычным базисом для построения логических исчислений, предназначенных для описания тех или иных дисциплин (прикладных исчислений). С этой целью язык исчисления предикатов «конкретизируется»: к нему добавляют предикатные символы и знаки операций, выражающие специфические отношения и операции рассматриваемой дисциплины. Например, если мы стремимся описать истинные суждения арифметики натуральных чисел, то можно добавить операции сложения, умножения, отношение делимости и т.п. Затем, кроме аксиом и правил вывода исчисления прецикатов (логических постулатов), в исчисление вводятся аксиомы, выражающие специфические законы изучаемого предмета (прикладные, специфические аксиомы). Таким образом строится, например, формальная арифметика. Помимо классического и интуиционистского исчислений предикатов, имеются и др. логические системы, описывающие логические законы, выразимые иными логическими средствами или с иных методологических позиций. Сюда относятся исчисления модальной логики, вероятностной логики, индуктивной логики и др.
Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957. А. Г. Драгалин. |
, импликации 
— формулы, то (
), (
), (
)
и 
или 
, то следует дополнительно заменить все связанные вхождения у в эту часть на переменную, не входящую в 
, 
)
)
)
),
))),
)
)),
)),
)),
)
)
) выводится формула 
. Два кванторных правила вывода: 2) из формулы (
), где 
не содержит свободно х, можно вывести (
); 3) из формулы (
), где 
не содержит свободно х, можно вывести (
).
и 
, 
