|
|
источник статьи: Большая Советская Энциклопедия |
Лежандра многочлены, сферические многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Впервые рассматривалась А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782—85) независимо друг от друга. Для n = 0,1,2,... Л. м. Р (х) могут быть определены формулой: в частности: и т.д. Все нули многочлена P< sub>n (x) — действительные и лежат в основном промежутке [—1, +1], перемежаясь с нулями многочлена Pn+i (x). Л. м. — ортогональные многочлены с весом 1 на отрезке [—1, +1,]; они образуют полную систему, чем обусловливается возможность разложения в ряд по Л. м. произвольной функции f (x), интегрируемой на отрезке [—1, +1]: где Характер сходимости рядов по Л. м. примерно тот же, что и рядов Фурье. Явное выражение для Л. м.: Производящая функция: (Л. м. — коэффициенты при n-й степени в разложении этой функции по степеням t). Рекуррентная формула: nPn < /sub>(x) + (n - 1) Pn-2(x) - (2n - 1) xPn-1(x) = 0. Дифференциальное уравнение для Л. м. возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. См. также Сферические функции.
Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М. — Л., 1963. В. Н. Битюцков. |