|
|
источник статьи: Большая Советская Энциклопедия |
Диофантовы приближения, часть теории чисел, изучающая приближения действительных чисел рациональными числами, или, при более широком понимании предмета, вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств с действительными коэффициентами. Д. п. названы по имени древнегреческого математика Диофанта, который занимался задачей решения алгебраических уравнений в целых числах — так называемых диофантовых уравнений. Методы теории Д. п. основаны на применении непрерывных дробей, Фарея рядов и Дирихле принципа. Задача о приближении одного числа рациональными дробями решается с помощью в
сех этих трёх методов и особенно с применением непрерывных дробей. Приближение действительного числа a подходящими дробями pklqk разложения a в непрерывную дробь характеризуется неравенством |a — pk/qk| < 1/qk2; с другой стороны, если несократимая дробь a/b удовлетворяет неравенству |a — а/b | < 1/2b2, то она является подходящей дробью разложения a в непрерывную дробь. Глубокие исследования о приближении действительных чисел В вопросах нелинейных Д. п. замечательные результаты получил И. М. Виноградов. Созданные им методы занимают центральное место в этой области теории чисел. Одной из важнейших задач теории Д. п. является проблема приближения алгебраических чисел рациональными. К Д. п. относится теория трансцендентных чисел, в которой находят оценки для модулей линейных форм и многочленов от одного и нескольких чисел с целыми коэффициентами. Теория Д. п. тесно связана с решением диофантовых уравнений и с различными задачами аналитической теории чисел.
Лит.: Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; Гельфонд А. О., Приближение алгебраических чисел алгебраическими же числами и теория трансцендентных чис ел, «Успехи математических наук», 1949, т. 4, в. 4; Фельдман Н. И., Шидловский А. Б., Развитие и современное состояние теории трансцендентных чисел, там же, 1967, т. 22, в. 3; Хинчин А. Я., Цепные дроби, 3 изд., М., 1961; Koksma J. F., Diophantische Approximationen, B., 1936. |